La Historia Del Algebra Y Sus Ecuacions Mas Importantes

El siguiente trabajo tratará sobre el origen de las ecuaciones, así como la aparición de sus fórmulas. Además, se hará mención a doce importantes matemáticos y tres escritos históricos. Como conclusión, se llevará a cabo la realización de un resumen, donde se recogerán las ideas principales. 

Una ecuación es una igualdad formada por una o más incógnitas. Antiguamente, hace unos 3700 años, se resolvían ecuaciones en Mesopotamia y Babilonia, y poco tiempo después, en Egipto, aunque éstas han evolucionado en su escritura. No existía ningún símbolo para definir las incógnitas y fue Diofanto de Alejandría, hace 1700 años, quien expresó por primera vez una simbología similar a la actual. En la ecuación 2x+4=4x-10, Diofanto diría que dos incógnitas más cuatro unidades debe ser igual a cuatro incógnitas menos diez unidades. En la actualidad, en cambio, llevaríamos las incógnitas a un miembro y las unidades a otro. La fórmula general de este tipo de ecuaciones es ax+b=0. 

Este matemático es el autor del libro “Arithmetica”, escrito sobre el año 250. En el siglo XVI a.C. , los egipcios conocían un método para resolver ecuaciones de primer grado, llamado “método de la falsa posición”, que consistía en asignar un valor determinado a la incógnita. En caso de verificarse la ecuación, la solución sería correcta. En caso contrario, hay que recurrir a la realización de cálculos matemáticos. Si, por ejemplo, en la ecuación x+1/7x=24, la solución fuera 7, adoptaría la siguiente forma: 7+1/7·7=8. por ello, la solución sería 3·(7+1/7·7)=8·3. Al contrario de los egipcios, los babilonios no solían realizar ecuaciones lineales, y se centraban en las de segundo grado o en los sistemas de ecuaciones. 

Las ecuaciones de segundo grado adquieren la forma ax2+bx+c=0, donde a≠0, para que el primer término no se anule. Para estos tipos de ecuaciones hay una fórmula muy famosa y muy utilizada, la cual es la siguiente: Todos nos la aprendemos de memoria para poder aplicarla, pero, ¿de dónde viene realmente? 

• Primer paso: multiplicamos por “4a” en ambos miembros de la ecuación. →4a2x2+4abx+4ac=0 
• Segundo paso: sumamos b2 en ambos miembros de la ecuación. →4a2x2+4abx+4ac+b2=b2 
• Tercer paso: pasamos restando “4ac”→4a2x2+4abx+b2=b2 −4ac 
• Cuarto paso: expresamos el primer término como una identidad notable. →(2ax+b)2=b2−4ac 
• Quinto paso: quitamos el cuadrado poniendo una raíz cuadrada en el miembro contrario.→2ax+b= ±√b2-4ac • Sexto paso: pasamos restando “b”→2ax= −b±√b2-4ac 
• Séptimo paso: despejamos “x” pasando dividiendo “2a”→ 1 

En 1816 apareció la regla de Ruffini, que permitía resolver ecuaciones de tercer grado o superior. Esta regla consistía en factorizar el polinomio y obtener sus raíces. No obstante, existe una fórmula que permite resolver las ecuaciones de tercer grado. Su origen se remonta al siglo XVI y destacan los matemáticos Niccolò Fontana, Gerolamo Cardano, Scipione del Ferro y Ludovico Ferrari. Se piensa que Scipione del Ferro fue el primero en descubrir esta fórmula. Por ello, Cardano y Ferrari viajan en 1542 a Bolonia, para investigar sobre su trabajo. Cardano comprueba que el método que había empleado anteriormente Fontana era cierto. 

Este hecho provocó que se publicara, en 1545, en el libro Ars Magna (escrito por Gerolamo Cardano) este método. Además, en dicho libro, también se hace mención sobre el método de resolución de las ecuaciones de cuarto grado, que consistía en reducir la ecuación en una de tercer grado. La fórmula general de las ecuaciones de tercer grado es ax3+bx2+cx+d=0, donde “a,b,c, d” son números reales o complejos y a≠0. La fórmula general de las ecuaciones de cuarto grado adquieren la forma ax4+bx3+cx2+dx+e=0, donde “a,b,c,d,e” son números reales o complejos y a≠0. Para resolver este tipo de ecuaciones hay que reducirlas a una ecuación de tercer grado, o bien aplicamos la regla de Ruffini. Fue Bombelli quien propuso este método. 

Sin embargo, para las ecuaciones de grado cinco o mayor no existe una fórmula general para poder resolverlas. Esto se ha sabido con el apoyo de las teoría de grupos, que pertenece a “matemáticas avanzadas”, y sobre todo, la teoría de Galois. La teoría de Galois afirmaba que era necesario estudiar los diferentes grupos de la ecuación, así como si son resolubles o no. Las ecuaciones de cuarto grado y menores son siempre resolubles, por lo que siempre podemos expresar las soluciones en forma de radicales. En cambio, las ecuaciones de quinto grado no son resolubles, según afirma el teorema de Abel-Ruffini. Este es el motivo por el que no existe una fórmula general. No obstante, algunas ecuaciones de este grado pueden ser resueltas mediante radicales, ya que el grupo de Galois es un grupo resoluble. 

El conjunto de las ecuaciones de distintos grados lo englobamos en un grupo llamado Álgebra. Esta palabra debe su nombre a Al-Khwarizmi. El significado que acabó dándose a esta palabra es que cada término de la ecuación debe estar en el lugar adecuado. Al-Khwarizmi llamaba a la incógnita “cosa”. 

Existe un método muy famoso para la resolución de ecuaciones, y es el método de Gauss, que consiste en transformar un sistema de ecuaciones de tres incógnitas en otro equivalente, mediante la ayuda de dejarlo escalonado. Para dejar el sistema escalonado, es necesario hacer cero alguna incógnita. Además, sabemos que un sistema es equivalente con otro si todos los coeficientes son ceros, una ecuación es proporcional a otra, hay dos ecuaciones iguales. El Teorema Fundamental del Álgebra recibe en algunos países el nombre de teorema d’Alembert-Gauss, pues el matemático francés, d’Alembert, fue el primero en dar una prueba casi completa sobre este teorema. En cambio, este matemático se caracterizaba por su repercusión en la física. 

Por otro lado, en 1761, Lagrange era el matemático más valorado de la época, considerándose incluso que no tenía ninguna competencia con el resto de personas. Su continuo trabajo y poco descanso provocó graves problemas de salud, a los cuales los médicos no querían hacerse responsables. Fue el creador del cálculo de variaciones y del teorema de valor medio. Es importante conocer el escrito “Papiro de Ahmnes”, pues nos desvela información sobre preguntas aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, etc. Fue escrito hacia 1650 a.C., por lo que podemos sacar como conclusión que el álgebra existía casi desde el principio de la vida. 

A resumidas cuentas, la historia de álgebra ha ido en continuo desarrollo desde su origen, gracias a los doce matemáticos nombrados y explicados anteriormente. No obstante, es imprescindible destacar la importancia de las ecuaciones de distintos grados, pues son cálculos que están presentes en nuestra etapa académica. Me ha resultado curioso conocer el dato de que las ecuaciones se realizaban hace gran cantidad de tiempo, pues son operaciones que se han mantenido hasta nuestros días, por lo que, tienen cierto valor en la actualidad. 

BIBLIOGRAFIA

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• https://elpais.com/elpais/2017/02/01/el_aleph/1485946402_896363.html 
• https://www.gaussianos.com/por-que-no-hay-solucion-general-de-la-ecuacion-de-quinto-grado/
• http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkhwarizmi.htm 
• http://www.rtve.es/noticias/20100917/dalembert-esceptico-veia-ciencia-como-todo/354757.shtml 
• http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

GAUSS D’ALEMBERT 

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