El Modelo Probabilístico: Ejemplos, Tipos y Objetivos

Introducción

En este trabajo estudia qué es el modelo probabilístico (ejemplos incluidos), sus tipos y la aplicación. En el primer curso de Estadística básica se estudiaron distribuciones empíricas, primero se presentó geométricamente y luego con una representación aritmética parcial, a través de la media y la desviación estándar. Si al estudiar el comportamiento de una variable aleatoria se ve que esta se comporta de cierta manera, es posible usar modelos conocidos para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. Es decir, un modelo probabilístico que permite describir los resultados de un experimento, así como predecir el comportamiento de la variable de estudio.

Frecuentemente, a los modelos probabilísticos también se les denomina distribuciones de probabilidad. Es importante hacer notar que existen modelos probabilísticos tanto para variables discretas como para variables continuas. En el presente curso se estudiarán dos de las distribuciones discretas: binomial y Poisson; pero existen más, tales como la distribución geométrica e hipergeométrica, mientras que, de las distribuciones continuas, en la primera unidad únicamente veremos la distribución normal.

Binomial

Una distribución es considerada binomial cuando:

• Los eventos que se presentan son independientes.
• Solo existen dos posibles resultados del evento.
• La probabilidad de éxito permanece constante.
• La variable aleatoria X se define como el número de éxitos dentro de un número n fijo de ensayos.

Poisson

Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos cuando:

• Los eventos ocurren en un continuo de tiempo o espacio.
• Los eventos ocurren de manera independiente.
• Los eventos son “raros” p 0.1 y np 5.

Teóricamente, las posibilidades en este tipo de distribución son infinitas; es decir que el número de eventos va de cero a infinito de manera discreta. Para determinar la probabilidad de que ocurra un cierto número de éxitos en un proceso de Poisson, solo es necesario conocer el número promedio, a largo plazo, de eventos para el tiempo o espacio de interés, dicho valor promedio se designa. Uno de los cuidados que debe tenerse al usar la fórmula para la distribución de Poisson es que el valor de debe aplicarse al periodo de tiempo pertinente. La probabilidad de X éxitos en una distribución de Poisson está dada por: x e

Normal

Esta distribución de probabilidades es continua y simétrica, es decir, con los valores observados distribuidos de manera uniforme y además, no es plana ni puntiaguda mesocúrtica. La distribución normal es importante por tres razones:

• Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma.
• Se usan para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y la de Poisson.
• La distribución de probabilidad de la media muestral y la proporción muestral es la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribución de la población de origen.

En el caso de una variable aleatoria con distribución de probabilidad continua, sólo es posible determinar el valor de probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un intervalo; puesto que hay un número infinito de valores en cualquier intervalo, la probabilidad de que tome un valor en particular es cero

Si la forma límite de un histograma para una distribución de frecuencias tiene la forma de una campana, entonces puede usarse una curva normal para la determinación de las probabilidades. Recuérdese que para una variable continua no es posible conocer la probabilidad de un evento, así que es necesario realizar distribuciones de frecuencias. Se sabe que tiene la siguiente interpretación geométrica con respecto a la curva normal.

• El área bajo la curva normal entre y es aproximadamente el 68% del área total.
• El área bajo la curva normal entre 2 y 2 es aproximadamente el 95% del área total.
• El área bajo la curva normal entre 3 y 3 es aproximadamente el 99.7% del área total.

Problema

Suponga que un cierto rasgo color de ojos, ser zurdo, etc. se determina por un par de genes, y que además representa un gen dominante, y un gen recesivo. Un funcionario de seguridad pública con una pareja de genes d, d se dice que es dominante puro y con la pareja de genes r, r se dice que es recesiva pura y con una pareja d, r se dice que es híbrida. En apariencia, los dominantes puros y los híbridos son similares. Los descendientes de una pareja reciben un gen de cada progenitor y este gen puede, con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor citado.

Conclusión

Recuperamos aquí la información presentada en la primera unidad del curso referida a los modelos estadísticos. Cuando el investigador se plantea un diseño experimental y comienza con la recogida de datos es porque persigue el estudio de verificación de un objetivo planteado sobre la población bajo estudio.

Estos objetivos se suelen establecer con base en teorías o hipótesis que desean verificar sobre el funcionamiento de la población bajo ciertas condiciones experimentales. Por ejemplo: teorías que establezcan la posible relación entre dos características de la población, teorías que plantean la idea de comportamientos distintos para una característica de la población en función de una variable que clasifica a los sujetos bajo estudio en diferentes grupos.

Un primer paso en la modelización estadística es el planteamiento de una expresión matemática que represente el comportamiento general de la población bajo estudio teniendo en cuenta el diseño experimental establecido y el objetivo u objetivos que se desean verificar. Esto es lo que se conoce como componente sistemática del modelo y se centra únicamente en la parte controladora de nuestro diseño experimental.

Por ejemplo, si nos planteamos como objetivo conocer la suma de dos números todo el mundo conoce cuál es la función matemática que permite obtener la suma de forma única. Esto se denomina función determinista pues siempre proporciona el mismo resultado si los valores de entrada son iguales.