Teorema de Bayes: Conceptos Bayesianos y su Aplicación

Resumen

Teorema de Bayes: ensayo e el cual se aborda el tema de probabilidad y es apropiado exponer el Teorema de Bayes como un método aplicado generalmente para calcular probabilidades posteriores. Este método se encuentra relacionado con la probabilidad total, probabilidad condicionada y el diagrama de árbol, con la finalidad de obtener un resultado que sea optimo y eficiente.

Complementariamente se explicará el teorema bayesiano enfocado con la industria lo cual influirá de manera esencial para poder tomar una decisión acertada y cuya decisión se encuentre fundamentada por varias técnicas de estadística bayesiana.

Palabras Claves: Estadística bayesiana, optimización, probabilidad.

Introducción

La probabilidad ha estado presente en nuestras vida de distintas formas, las cuales han sido objetivo de estudio desde tiempos remotos; con el pasar de tiempo ,las innovaciones y descubrimientos tanto matemáticos como físicos han ido creando varias leyes, teoremas, postulados y metodologías que han ayudado con el estudio de la probabilidad; uno de estos es el Teorema de Bayes, el cual se ha utilizado con el fin de calcular en una base de datos la distribución condicional después de haber ocurrido cierto proceso, el mismo que tiene la ventaja de estimar el riesgo de los datos de diferentes formas tales como modelos dinámicos.

Con la creación de este teorema también aparecieron los modelos o métodos bayesianos, estos modelos incorporan información que ya ha sido objetivo de estudio con el fin de poder estimar diversos modelos útiles dentro de un espacio muestral y así poder tener una solución en la toma de decisiones en los distintos campos en los cuales este será aplicado.

Objetivos

• Definir el Teorema de Bayes y aplicación en la industria.

Conceptos Bayesianos

Los procedimientos bayesianos se han difundido exclusivamente porque es útil para la resolución de problemas en la toma de decisiones. El beneficio de estos procedimientos consiste básicamente en el uso de condiciones en las que existe información definida acerca de un gran número de variables o cuando la información procede de distintas fuentes.

Los modelos bayesianos fundamentalmente incorporan conocimientos precedentes para poder estimar modelos útiles dentro de un espacio muestral y de este modo poder apreciar parámetros que resultan de la practica o de una teoría probabilística.

La estadística bayesiana proporciona cantidades tanto conocidas como desconocidas lo que permite integrar los datos conocidos dentro de la consideración de los parámetros dados inicialmente, obteniendo así un desarrollo de estimación más rico en información haciendo inferencias sobre las cantidades desconocidas. 

La metodología bayesiana está fundamentada en la deducción subjetiva de la probabilidad y tiene como punto centrado el Teorema de Bayes. Adentro de las prácticas de la teoría de la probabilidad es apropiado enunciar el Teorema de Bayes como manifestación de probabilidad condicional que aclara los beneficios obtenidos en las estimaciones fundamentadas en conocimientos esenciales.

La finalidad de la estadística, particularmente de la estadística Bayesiana, es proveer una metodología para estudiar apropiadamente la información mediante análisis de datos y resolver de manera adecuada sobre la mejor forma de trabajar. [2]

Conceptos Previos del Teorema Bayes

Sucesos o Eventos: Se determina simplemente como un subconjunto de la extensión muestral Ω asociado a un experimento ε. Sucesos mutuamente excluyentes: Se expresa que dos sucesos A y B son mutuamente descartados, si estos no pueden suceder juntos a la vez, lo que se muestra así: A ∩ B = Ø, es decir su cruce es el conjunto vacío. 

En el Teorema de Bayes, la probabilidad previamente de un evento posterior incierto y la probabilidad condicional del producto de la muestra deben ser notables. Por lo habitual, las probabilidades condicionales están delimitadas por la aplicación de una normativa de distribución de probabilidad en convenio con el carácter de dicha distribución.

1.  Sea A el hecho nulo esto es A= Ø se tiene P(A) = P(Ø) = 0
2. Sean {A1, A2, Ai,…,An} acontecimientos mutuamente excluyentes (esto es Ai ∩ Aj = Ø si i ≠ j) entonces se tiene:
3. Sean A y Ac los sucesos complementarios esto es A U Ac = Ω, es decir la junta de 2 eventos es el espacio muestral y se posee P(A) + P(Ac) = 1 o también P(Ac ) = 1-P(A) para todo hecho o suceso A en Ω
4. Sea (A U B) el hecho definido como que sucede A o bien sucede B. Se tiene:

Probabilidad Condicional: Este modelo de probabilidad aprueba cambiar la creencia que se tiene acerca de la ejecución de un experimento cualesquiera, algunas veces se consigue información parcial de un ensayo aleatorio de antemano, a que conozcamos el producto final del experimento. 

Teorema de Bayes

Este teorema se adapta cuando se formulan suposiciones posteriormente sobre la probabilidad y previamente de eventos ya ocurridos. Este teorema radica, que, si ocurre cierto evento, que depende de la sucesión de los eventos A o B pertinente a un conjunto de acontecimientos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que B haya sucedido a consecuencia de A, lo cual lo expresamos P(Ai|B) compete al producto de las probabilidades individuales del suceso A y del suceso B, dividido por la probabilidad disyuntiva del evento B con respecto a cada uno de los sucesos independientes de A y B. 

Red Bayesiana

Una Red Bayesiana es un ideal probabilístico que enlaza un conjunto de variables fortuitas mediante un grafo dirigido, son redes graficas sin fase en el que se simbolizan variables aleatorias y el vínculo de probabilidad que existan entre ellas que aceptan conseguir soluciones a cuestiones de decisión en casos de inseguridad. Una red bayesiana es una exhibición ilustrada de dependencias para deducción probabilístico, en la cual los nodos exhiben variables cualesquiera y los arcos representan relaciones de vinculación directa entre las variables. [5]

Aplicación

Dentro del Teorema de Bayes tenemos varios métodos que se pueden utilizar para la toma de decisiones; las cuales pueden ser redes bayesianas, métodos o modelos bayesianos, los mismos que al aplicarse a un grupo de datos con el fin de predecir el comportamiento de cada uno de ellos después de la ocurrencia de otro.

Ahora veremos una aplicación del teorema de Bayes en la industria en un enfoque de la disponibilidad existente de materiales y sistemas, además de la confiabilidad de la misma. En este ejemplo se estudiará la confiabilidad y disponibilidad de máquinas y la probabilidad de tiempo de falla, para ello se dedujeron dos fórmulas:

• Aplicación del Teorema de Bayes: donde u(t) es la tasa de reparación y λ la tasa de fallas 

Esta ecuación se deduce después de aplicar que la tasa de falla del tiempo se vuelve una constante y así poder reducir la formula general en las fórmulas previamente mostradas. En este ejemplo con el teorema de bayes se intenta o se analiza el tiempo en el falla un componente de un equipo el fin de este análisis probabilístico es el predecir en qué momento este fallara y así poder estar prevenidos.

Al final de este análisis aplicando el teorema estudiando se pudo definir que el equipo fallara en promedio cada 79221 horas. Así como este ejemplo citado existe un sinfín de aplicaciones en diferentes campos pero todos se basan en el teorema de bayes y su definición.

Conclusiones

La probabilidad es un tema muy extenso pero sin embargo como se indicó al inicio del documento se definió uno de los teoremas que más se utilizan con el fin de predecir eventos después de la sucesión de otro, el Teorema de Bayes; posteriormente se indicó algunos conceptos que fueron necesarios para tener un mejor entendimiento de este teorema; el cual se lo aplica en una gran variedad de ámbitos, y en este documento se analizó un ámbito en específico como lo es en las industrias y más importante en los equipos utilizados en las mismas, el cual se basa específicamente en el análisis de datos de probabilidad de eventos después que ya ha ocurrido otro de ellos, finalmente se pudo obtener un resultado el cual a largo plazo nos ayudara a prevenir fallas en los equipos utilizados y con ello poder prevenir la mayoría de ellos.

Referencias

1. L. O. Mesa Páez, M. Rivera Lozano y J. A. Romero Davila, «Descripción general de la Inferencia Bayesiana y sus,» Universidad de Rosario, pp. 15-28, 2011.
2. C. Lopez de Castilla, «Estadistica Bayesiana,» Universidad Nacional de San Marcos, Lima-Peru, 2011.
3. P. Meyer y C. Prado Campos, Probabilidad y aplicaciones estadísticas, México: Addison-Wesley Longman, 1998.
4. C. Martinez Bencardino, Estadistica y muestreo, Bogota: Ecoe Ediciones, 2012.
5. Lozano y R. Miller , «EL PAPEL DE LAS REDES BAYESIANAS EN LA TOMA DE DECISIONES,» Universidad de Rosario, p. 11, 2011.
6. Medardo Yañez, Karina Semeco, Nayrih Medina , «’Enfoque practico para la estimacion de confiabilidad y disponibilidad de equipos basados en datos genericos’,» Reliability and Risk Manadement , 2004.
7. B. Carlin, «Bayes methods for data analysis,» Chapman&hall/crc, New York , 2000.
8. Julio Cesar Ossa, «Modelos Bayesianos y funcionamientos inferenciaes compejos,» Cali, 2009.